共轭空间的概念在数学中，特别是在泛函分析中，涉及到对于给定空间的所有线性泛函的集合。
下面证明Lp的共轭空间是Lq。
这个问题的证明比较复杂，一共分以下几步。
第一步，先假设给定一个函数y(t)，然后对y(t)进行泛函∫x(t)。
对于泛函∫x(t)，将ky(t)和y1+y2代入积分，∫x(t)明显符合加法运算和数乘运算，所以∫x(t)是一个线性泛函。同时因为||y||q是一个数字，所以f(x)是一个有界线性泛函。
这里的证明其实是把
整体当作一个泛函符号看待。
这一步的意思就是，在假设泛函∫x(t)满足牛顿-莱布尼茨公式的前提下，验证对于不同的函数y(t)这个泛函是一个线性泛函。
因为不是线性泛函的话就不一定存在一一对应的关系，共轭空间也就无从谈起。
第二步，假设给定任意一个线性泛函f(x)，然后验证这个泛函本身要满足牛顿-莱布尼茨公式。
为了达到这个目的，就必须对f(x)进行分析。
作者在《有界线性泛函的积分性质》一文中，已经证明对于所有的阶梯函数x(t)。
有界线性泛函f(x)可以写成：
图1
对于Lp空间的f(x)，
上图的附5.2指如下定理：
附5.3是指：
由图1，得到：
接下来证明Lp空间的共轭性质。
这里用到1/p+1/q=1即q=pq-p的条件。
上图是指有界函数逼近。
下面用到了Lp空间可分性的定理：
5.2.17的结论是因为下图，并且n趋于无穷时，f(xn)=f(x)。
以上第4步第5步的目的就是，假设存在Lp空间的有界线性泛函f(x)。则一定可以找到相对应的Lq空间的y(t)，使得图1中的等式成立，并具有保范性质||f||=||y||。
因为共轭空间的一一对应特点，最后证明y(t)的唯一性：
上图的证明同样用到了泛函f(x)的线性性质。
Lp空间的共轭空间问题的证明是比较复杂的，要完全理解整个证明过程。须以图1为出发点，大概分为以下几个步骤：
1：假设泛函∫x(t)满足牛顿-莱布尼茨公式的前提下，验证对于不同的函数y(t)这个泛函是一个线性泛函。
2：假设给定任意一个线性泛函f(x)，然后验证这个泛函本身要满足牛顿-莱布尼茨公式。
a: 首先证明有界线性泛函可以表示成图1的形式。
b:在图1的基础上，假设x(t)属于Lp空间，然后求出Lq共轭空间中相对应的y(t)。
c:最后证明保范性和唯一性。
整个证明的核心还是在于图1的证明，即有界线性泛函f(x)是否满足牛顿-莱布尼茨公式。
